中值定理与导数的应用

五、中值定理与导数的应用 （一）中值定理 1 ．若函数 f ( x ）在闭区间[ a ，b]上连续，在开区间（ a , b ）内可导，且 f ( a ) = f ( b ) ，则至少有一点ξ∈（ a， b ) ，使得 f ' (ξ）＝ 0。 2 ．拉格朗日中值定理 若函数 f ( x ）在闭区间［ a ，b］上连续，在开区间（ a , b ）内可导，则至少有一 点ξ∈（ a， b )，使得下式成立   （二）求未定式的值的方法 ― 罗必塔法则 2 ．其他形式的未定式的情形   （三）函数性态的判别 1 ．函数单调性的判定 利用一阶导数的符号判定，如表 1-2-1 所示。 2 ．函数极值的判定 利用一阶导数判定，如表 1-2-2 所示。 利用二阶导数判定，如表1-2-3 所示。 3 ．曲线凹、凸及其拐点的判定 利用二阶导数的符号判定曲线的凹、凸，如表 1-2- 4 所示。 连续曲线 y = f ( x ）上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点。如果 f " （x0）=0,而 f " ( x ）在x0的左右两侧邻近异号，则点（x0， f ( xo ) ）就是一个拐点。 4 ．曲线的渐近线、弧微分、曲率 （四）最大值最小值问题 设 f ( x ）在闭区间 [ a , b] 上连续、除个别点外处处可导且至多在有限个点处导数为零，求 f （x）在 [ a ，b]上的最大值与最小值的一般方法： 设 f ( x ）在（ a , b ）内的驻点及不可导点为 x1，… , xn，则比较 的大小，其中最大的便是最大值，最小的便是最小值。

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