在实际问题中，为了考察一个事物是否存在局部和整体的相似性，只要检验该事物是否存在“无标度区”即可。以尺度r把事物分成 N个相似的部分，对变化的r画出 igr- lgN曲线，然后检验曲线上是否存在明显的直线段，直线段对应的r的区域即是无标度区。此方法的理论依据是自相似集的相似维数（一lgN/lgr）是不依赖于尺度r的一个常数。分维是描述分形特征的定量参数，因为所描述的具体对象不同，分维计算的具体形式也有多种，如相似维数、容量维数、信息维数、关联维数、集团分维和质量分维等。

地震学界已开始对地震的时、空、强度分维及其多分维进行了大量研究。普遍认为地震是多重分形的。分维值在地震前后的变化为探讨地震前兆场的复杂性提供了有效的分析工具。在桥梁抗震中，结构破坏与地震输入和结构反应特征有关。从弹性反应谱的三联谱中，很容易发现无论是岩石场地弹性反应谱还是结构的弹性反应谱均具有明显的分形特征。P.S.Symonds对一个具有两个自由度的梁构件模型在瞬时冲击荷载作用下的弹塑性反应进行了分维研究，计算得自相似维数为0.78，表明位移反应图对冲击荷载标度具有独立性［7］。

（2）桥梁抗震及分形特征

如同分形广泛存在于自然科学和社会科学的诸多领域中一样，分形同样存在于桥梁抗震领域［10］

①作为输入荷载的地震动，其能量具有分形特征，而且能量分维Dfe有可能成为地震预报的新参数。

②地震动反应谱，作为地震动特性与结构动力反应相互联系的纽带，也是统计意义上的分形结构，它也决定了结构反应的分形特征，特别是以周期为标度，结构反应应该与反应谱具有一致的无标度区。

③对墩柱破坏准则的研究发现，变形一能量双重破坏准则的破坏指数是划分桥梁域往不同破坏程度的合理指标，以输入地震动的峰值或以墩柱体积配箍率为标度，破坏指数具有近似分维特征。建立连续梁桥等代分析模型，代替复杂的结构有限元模式来分析结构的地震反应。通过理论分析与桥例计算可见，以刚度比为标度，结构周期、墩底弯矩和墩顶位移反应存在无标度区;以周期为标度。墩底弯矩和墩顶位移反应同样具有明显的分形特征。与反应谱所体现的分形特征一致「8」。

结合南京长江二桥南汉桥和杨浦大桥两个桥例，建立有限元模型，考虑边跨主跨跨径比、梁墩刚度、局部构件、支座单元等对结构动力反应的影响。通过分析可以发现，对于不同的标度，无论是跨度比、梁墩刚度比还是支座的刚度等等。动力反应都表现出近似多重分形特征，分维值可以反映动力反应对于不同标度的敏感程度「9」。

研究桥梁结构动力特性是否具有分形特征，是分形和分维概念应用于桥梁结构动力分析领域中的关键点。通过对国内外大量已有实桥动力特性资料的统计和桥例分析可见［10］：

①斜拉桥的纵飘基频对于跨径尺度，主塔侧弯基频对于塔高，体系坚弯基频对于跨径，侧弯基频对于跨宽比以及扭转基频对于跨径都具有统计意义上的分形特征。

②悬索桥竖弯基频、侧弯基频及扭转基频对于跨径或主缆垂度，具有统计分形特征，利用分数维，可以得到比常用估算公式更为接近实桥值的基频简化计算公式。

③对于梁桥动力特性的大量实测结果表明，简支梁桥基频对于跨径标度是分维为0.923～0.933的统计分形结构。以桥长为标度，小跨径桥梁的基本侧向周期分维为1.20.桥梁结构系统涉及参数多，统一的规律多存在于定性阶段。分维的概念使得对于性质的认识可以定量描述，正如在许多领域，分维对非线性、无规则现象的描述那样。显然，这还需要大量的工作和艰辛的努力。以上分析表明，混饨系统存在规律性，分形就是描述这种规律的一种理论，事实上，分形规律不仅仅在桥梁抗震领域存在，在桥梁大系统中乃至整个土木工程领域中都广泛存在着。