最优二叉树概念 1．树的路径长度
树的路径长度是从树根到树中每一结点的路径长度之和。在结点数目相同的二叉树中，完全二叉树的路径长度最短。2．树的带权路径长度
结点的权：在一些应用中，赋予树中结点的一个有某种意义的实数。
结点的带权路径长度：结点到树根之间的路径长度与该结点上权的乘积。
树的带权路径长度：定义为树中所有叶结点的带权路径长度之和，通常记为：
其中：
n表示叶子结点的数目
wi和li分别表示叶结点ki的权值和根到结点ki之间的路径长度。
树的带权路径长度亦称为树的代价。3．最优二叉树或哈夫曼树
在权为wl，w2，…，wn的n个叶子所构成的所有二叉树中，带权路径长度最小的二叉树称为最优二叉树或哈夫曼树。
【例】给定4个叶子结点a，b，c和d，分别带权7，5，2和4。构造如下图所示的三棵二叉树，它们的带权路径长度分别为：
WPL=72+52+22+42=36
WPL=73+53+21+42=46
WPL=71+52+23+43=35
其中树的WPL最小，可以验证，它就是哈夫曼树。
① 叶子上的权值均相同时，完全二叉树一定是最优二叉树，否则完全二叉树不一定是最优二叉树。
② 最优二叉树中，权越大的叶子离根越近。
③ 最优二叉树的形态不唯一，WPL最小 构造最优二叉树1．哈夫曼算法
哈夫曼首先给出了对于给定的叶子数目及其权值构造最优二叉树的方法，故称其为哈夫曼算法。其基本思想是：
根据给定的n个权值wl，w2，…，wn构成n棵二叉树的森林F=，其中每棵二叉树Ti中都只有一个权值为wi的根结点，其左右子树均空。
在森林F中选出两棵根结点权值最小的树，将这两棵树合并成一棵新树，为了保证新树仍是二叉树，需要增加一个新结点作为新树的根，并将所选的两棵树的根分别作为新根的左右孩子，将这两个孩子的权值之和作为新树根的权值。
对新的森林F重复，直到森林F中只剩下一棵树为止。这棵树便是哈夫曼树。
用哈夫曼算法构造哈夫曼树的过程见【动画演示】。
① 初始森林中的n棵二叉树，每棵树有一个孤立的结点，它们既是根，又是叶子
② n个叶子的哈夫曼树要经过n-1次合并，产生n-1个新结点。最终求得的哈夫曼树中共有2n-1个结点。
③ 哈夫曼树是严格的二叉树，没有度数为1的分支结点。
2．哈夫曼树的结构及哈夫曼算法的实现
用一个大小为2n-1的向量来存储哈夫曼树中的结点，其存储结构为：
#define n 100 //叶子数目
#define m 2n-1//树中结点总数
typedef struct HTNode；
typedef HTNode HuffmanTree[m]； //HuffmanTree是向量类型
因为数组的下界为0，故用-1表示空指针。树中某结点的lchild、rchild和parent不等于-1时，它们分别是该结点的左、右孩子和双亲结点在向量中的下标。
这里设置parent域有两个作用：其一是使查找某结点的双亲变得简单；其二是可通过判定parent的值是否为-1来区分根与非根结点。在上述存储结构上实现的哈夫曼算法可大致描述为：
初始化
将T[0．．m-1]中2n-1个结点里的三个指针均置为空，权值置为0。
输人
读人n个叶子的权值存于向量的前n个分量中。它们是初始森林中n个孤立的根结点上的权值。
合并
对森林中的树共进行n-1次合并，所产生的新结点依次放人向量T的第i个分量中。每次合并分两步：
①在当前森林T[0．．i-1]的所有结点中，选取权最小和次小的两个根结点[p1]和T[p2]作为合并对象，这里0≤p1，p2≤i-1。
② 将根为T[p1]和T[p2]的两棵树作为左右子树合并为一棵新的树，新树的根是新结点T[i]。具体操作：
将T[p1]和T[p2]的parent置为i，
将T[i]的lchild和rchild分别置为p1和p2
新结点T[i]的权值置为T[p1]和T[p2]的权值之和。
合并后T[pl]和T[p2]在当前森林中已不再是根，因为它们的双亲指针均已指向了T[i]，所以下一次合并时不会被选中为合并对象。 |
